Eugène Finelle est diplômé comme pharmacien en 1906. Il commence sa carrière, après l'Ecole d'application des services de santé des troupes coloniales de Marseille, à l'hôpital militaire de Marseille, puis part en Guyane en 1907, en Côte d'Ivoire, à Hanoï en 1914. Il rentre en France en 1917, et est affecté comme toxicologue au 1er corps d'armée coloniale. Il est blessé à la tête par éclat d'obus dans la Marne en 1918, et cité deux fois à l'ordre. Il est en Indochine en 1919, puis à Fréjus (Var) et à l'armée du Rhin en 1923. Il est ensuite à Tananarive et à son retour en France est affecté à l'inspection générale des services de santé au ministère des Colonies, service interrompu pour deux années où il est nommé en Afrique orientale française. Il passe au cadre de réserve la 20 août 1940.
Il est lieutenant-colonel en 1925, pharmacien colonel en 1929, pharmacien général en 1934.
Il est élu membre titulaire de l'Académie de pharmacie en 1947 (devenue Académie nationale de pharmacie).
Il est nommé chevalier de la Légion d'honneur en 1921, promu officier en 1928 et fait commandeur en 1952.